空间坐标系 · 交互讲解

从"一个点有两套坐标"讲起，一直讲到 C 臂（DiffDRR / GeoReg）和 R2-Gaussian 的相机。全部用简单形状，没有真实数据；每章都有能拖的东西和一道小题。

页面自检：计算中…　每章右上角的"自检"是打开页面时自动跑的数值断言（比如 RᵀR = I、两条代码路径落点一致），点开能看到每一条。

全篇统一的约定

整条链一张图

一个体素的值最后变成探测器上一个像素，中间要换四次坐标。点方框跳到对应章节。

体素下标(i, j, k)
affine
第 5 章
世界坐标(x, y, z) mm
w2c
第 6·9·10 章
相机坐标(x_c, y_c, z_c)
× DSD ⁄ z_c
第 7 章
探测器平面(u, v) mm
÷ 像素间距
第 7 章
像素(row, col)

反方向（像素 → 射线 → 沿射线采样体素）就是 DRR 的做法，在第 8 章。

目录

  1. 坐标系是什么
  2. 旋转矩阵：列就是新的坐标轴
  3. 齐次坐标与 4×4：补一个 1、顺序、逆
  4. 欧拉角：用 3 个数描述一个旋转
  5. 体素下标 ↔ 世界坐标
  6. 相机外参：一步步把局部坐标系变成相机
  7. 投影：相机坐标 → 像素（含 c2w → 像素完整数例）
  8. 反过来：像素 → 射线 → 体素
  9. C 臂（DiffDRR / GeoReg）
  10. R2-Gaussian 的相机与投影
  11. 对照表与常见坑
第 1 章

坐标系是什么

自检…

坐标系 = 一个原点 + 几根有方向的轴 + 单位长度。坐标不是点本身的属性，而是"从某个原点出发，沿这几根轴各走几步能到这个点"。换一个坐标系，同一个点的数字就变了，点本身一动没动。

下图有两个坐标系：固定的世界坐标系（深色 x、y），和一个可以拖动、旋转的局部坐标系（浅色 x′、y′）。蓝色的 F 是"钉"在局部坐标系上的，跟着它走。

拖白色圆圈 = 平移局部原点 O′；拖 x′ 轴尖上的红点 = 旋转；拖橙色点 P = 换一个点看坐标。
这一章只需要记住一个式子：局部坐标 p′ → 世界坐标 p 是 p = R · p′ + t。
  • R 的每一列 = 一根局部轴在世界里的方向（第 1 列是 x′，第 2 列是 y′）。
  • t = 局部原点 O′ 在世界里的位置。
  • 反过来 p′ = Rᵀ · (p − t)：先减掉原点，再用转置"转回去"。
后面的 affine（体素 → 世界）、c2w（相机 → 世界）全都是这个形状，只是从 2 维变成 3 维。
第 2 章

旋转矩阵：列就是新的坐标轴

自检…

到 3D 还是同一件事。一个 3×3 旋转矩阵 R 不用背公式，只要会读它的三列：第 1 列是物体自己的 x′ 轴转完以后在世界里指向哪，第 2、3 列是 y′、z′。

所以"矩阵乘一个点"其实就是：R · (a, b, c) = a × 第 1 列 + b × 第 2 列 + c × 第 3 列——沿着三根新轴依次走 a、b、c 步。右边打开"分解"，3D 里会画出这三段路。

深色长箭头 = 世界轴；浅色短箭头 = 积木自己的轴 x′ y′ z′。鼠标停在右边矩阵的某一列上，对应的轴会变粗。
要点
  • R 的列 = 旋转后的坐标轴。三列长度都是 1、两两垂直，所以 RᵀR = I，R⁻¹ = Rᵀ：求逆只要转置。
  • det R = +1 是纯旋转；把某一列取反，det 变成 −1，物体就被镜像了（F 会变成反的 F）。第 5 章 affine 的行列式带负号，说的就是这件事。
第 3 章

齐次坐标与 4×4：补一个 1，就冒出了"顺序"

自检…

第 1 章的 p = R·p′ + t 里有两种运算：旋转是乘，平移是加。只做一次变换没问题；可一旦要连着做好几次（体素 → 世界 → 配准 → 相机……），乘法和加法交替出现，公式很快就乱了。这一章按顺序讲三件事：

  1. 补一个 1：把点 (x, y) 写成 (x, y, 1)，平移也就能写成矩阵，变成乘法。→ 下面 ①
  2. 好处：旋转、平移全是矩阵了，连着做几次 = 几个矩阵相乘，可以先乘成一个矩阵。
  3. 代价：矩阵乘法不能交换（A·B ≠ B·A）。"先做哪个"只体现在谁在左、谁在右，写反了照样能算、不报错。→ 下面 ②

③④ 是由此而来的两个常见错误。2D 用 3×3，3D 用 4×4，道理完全一样；为了看得清楚，这一章用 2D。

要点
  • 补上 1 以后，平移矩阵第三列的 (tₓ, t_y) 乘的正是点的那个 1，结果里就多出 +tₓ、+t_y：加法被写成了乘法。
  • 从右往左读：p′ = B·A·p 里 A 离 p 最近，先做 A。顺序不同，合起来矩阵的平移列就不同：B·A 的平移列还是 B 的 t；A·B 的平移列是 R·t（平移向量自己也被转了）。
  • 对到 C 臂：DiffDRR 的 E = [R | R·tra] 拆开就是 R·T(tra)，先平移 tra，再旋转 R，所以源在 R·tra 而不在 tra（第 9 章）。
  • 自己手写合成公式时，平移列是 R₂·t₁ + t₂，不是 t₁ + t₂（③）；刚体变换的逆是 [Rᵀ, −Rᵀ·t]，不是 [Rᵀ, −t]（④）。第 6 章 w2c 的第 4 列就是 −Rᵀ·t。
第 4 章

欧拉角：用 3 个数描述一个旋转

自检…

从前两章接过来

于是有个实际问题：怎么用 3 个数说清楚一个旋转？C 臂的主角度、副角度，DiffDRR 的 rot，优化器要调的参数，都需要这 3 个数，不可能让人去填 9 个互相牵制的矩阵元素。

欧拉角的办法：把任意旋转拆成"绕坐标轴转 3 次"。绕某一根坐标轴转，矩阵特别简单，只有一个角度：

三个乘起来就是 R。既然是连乘，第 3 章的教训马上用上：先绕哪根轴，结果不一样。所以欧拉角一定要带顺序名，比如 ZYX 表示 R = Rz(α)·Ry(β)·Rx(γ)。只说"三个角是 30°、20°、10°"而不说顺序，是还原不出旋转的。

再多一个坑：绕的是"哪根"轴？

转第二次时，物体已经转过一次了。"绕 y 轴转"指的是世界的 y 轴，还是物体自己转过之后的 y′ 轴？两种说法都有人用，而且同一个乘积 R = Rz(α)·Ry(β)·Rx(γ) 两种都能读：

两种读法的终点完全一样。最简单的例子：α = 90°、β = 90°、γ = 0，也就是 R = Rz(90°)·Ry(90°)：

读法第一步第二步终点（积木三根轴指向）
外旋，从右往左绕世界 Y 转 90°绕世界 Z 转 90°x′ → 世界 −z
y′ → 世界 −x
z′ → 世界 +y
内旋，从左往右绕 Z 转 90°
此时积木的 y′ 指向世界 −x		绕积木自己的 y′（= 世界 −x）转 90°

下面先点"用这个例子"，再分别点两个播放按钮：黄色粗箭头标出每一步绕的那根轴，两次播放停在同一个姿态。

注意第一步。积木还没转过的时候，它自己的轴和世界的轴是重合的，所以不管哪种读法，第一步看起来都像"绕世界轴转"。两种读法的区别从第二步才开始：内旋第二步绕的是积木转过一次之后的 y′，它已经不是世界 y 了。播放时灰色细箭头会把"另一种读法此刻会绕的轴"画出来对比。
蓝色积木 = 当前顺序的结果；半透明灰色积木 = 换成另一种乘法顺序的结果。黄色粗箭头 = 播放时正在绕的轴；灰色细箭头 = 对比用的另一根轴（外旋时画积木自己的同名轴，内旋时画世界轴）。
对到代码
  • DiffDRR：convert(rot, tra, parameterization="euler_angles", convention="ZYX") 算的正是 R = Rz(rot[0])·Ry(rot[1])·Rx(rot[2])。GeoReg 用 rot = [主角度, 0, 副角度]，所以 R = Rz(主)·Rx(副)。
  • R2-Gaussian：angle2pose 里写着 "rotate … (fixed axis)"，是外旋：rot = R3·R2·R1，先 R1 后 R3。第 10 章会分步播放它。
  • 万向锁：ZYX 且 β = ±90° 时，α 和 γ 绕的变成同一根轴，只剩它们的差有意义，少了一个自由度。优化器在这附近会很难受。
第 5 章

体素下标 ↔ 世界坐标

自检…

CT 体数据在文件里只是一个三维数组，下标 (i, j, k) 是整数，没有单位、也不知道头朝哪。把它放进世界里的，是 4×4 的 affine：

[x, y, z, 1]ᵀ = A · [i, j, k, 1]ᵀ = i × 第1列 + j × 第2列 + k × 第3列 + 第4列

和第 1 章一模一样：前三列 = 下标每加 1 在世界里往哪走、走几毫米；第 4 列 = 体素 (0, 0, 0) 的中心在世界里的位置。下面的格子是一个 5×6×3 的小体积，蓝色体素拼成一个 F（i 向右、j 向上时读起来是正的）。

点任意一个格子 = 选中这个体素，右边算它的世界坐标。红色小球是一个世界点，右边反算它的"连续下标"。
要点
  • det(A 的前 3×3) 的绝对值 = 一个体素的体积（mm³）；负号 = 下标坐标系相对世界是镜像的。
  • 方向码（nibabel 的 aff2axcodes）说的是下标增大那一端朝哪：第 1 列是 (−20, 0, 0) → i 增大时往 −x 走 → 在 RAS 世界里 −x 是病人左侧 → 码是 L。
  • canonicalize（DiffDRR read() 默认做）只改第 4 列，把体积中心挪到世界原点；数组一个字节不动，前三列也不动。中心 = A·[(n−1)/2, 1]。
  • 下标顺序：nibabel 读出来是 arr[i, j, k]；SimpleITK 和很多 CT 代码是 arr[k, j, i]。不少重建代码里的 volume_shape 也写成 (Z, Y, X)。同一个体素，两种写法下标顺序正好反过来。
第 6 章

相机外参：一步步把局部坐标系变成相机（c2w、w2c）

自检…

回顾：世界坐标系和"物体自己的"坐标系

世界坐标系：从这一章开始，所有东西都放进第 5 章 canonicalize 之后的那个世界里。原点 = 体积（头）的中心，x 向病人右、y 向前、z 向上，单位 mm。下面 3D 图里的"头"就摆在原点，三个小球标出方向：R 在 +x、A 在 +y、S 在 +z。头一直不动。

物体自己的（局部）坐标系：第 1–3 章讲过，一个局部坐标系一开始和世界系重合；把它转一下（R）、挪一下（t），它里面的点换到世界就是 p = R·p′ + t。R 的三列是它三根轴在世界里的方向（第 2 章），t 是它的原点在世界里的位置，补一个 1 拼成 4×4 就是 [R | t]（第 3 章）。

相机就是这样一个局部坐标系，没有任何特殊。拍片时要回答的问题是"站在相机那里看，这个点偏右多少、偏下多少、离我多远"，这三个数就是点在这个局部坐标系里的坐标。下面不直接给定义，而是从世界原点出发，一步步把一个局部坐标系转、移成相机。

六步：从世界原点到相机

步骤做什么这一步的矩阵做完以后
① 起点局部系和世界系重合，放在原点IM = I
② 转绕世界 x 转 −90°Rx(−90°)z′ 指向 +y，y′ 指向 −z
③ 转绕世界 z 转 +90°Rz(+90°)z′ 指向 −x、x′ 指向 +y、y′ 朝下：得到基准朝向 R₀，给三根轴起名 x_c / y_c / z_c
④ 转绕世界 y 转 −el（仰角）Ry(−el)视线往下压 el
⑤ 转绕世界 z 转 az（方位角）Rz(az)旋转定下来：R = Rz(az)·Ry(−el)·R₀
⑥ 移沿自己的视线往后退 dT(C)，C = R·(0, 0, −d)M = [R | C]，这就是 c2w

②–⑤ 每一步都只转不移，而且都绕世界的固定轴转，所以新的一步都乘在左边：M ← S·M（第 4 章外旋读法）。先抬仰角、再转方位角，是为了让每一步都绕世界的固定轴；反过来先转方位角也行，但那时仰角要绕"跟着转过去的水平轴"（第 4 章内旋读法），结果一样。

下面按 ①–⑥ 一步步点，或者点"▶ 从头播放"。3D 里浅色箭头是这个局部坐标系，半透明的是它上一步的位置，黄色粗箭头是这一步绕的世界轴。

黑球 = 局部坐标系的原点（做完第 ⑥ 步就是相机位置）；浅色箭头 = 局部系三根轴；半透明箭头 = 上一步的位置；黄色粗箭头 = 这一步绕的世界轴；灰色框 = 成像平面（第 ③ 步起名以后才画）。第 ⑥ 步后：蓝色虚线圆 = 只拖方位角时相机走的路，紫色虚线弧 = 只拖仰角时走的路。

做完第 ⑥ 步：M 就叫 c2w

这个 M 做的事和第 1 章的 [R | t] 一样：把局部系里的点送到世界。局部系现在就是相机系，所以它叫 c2w（camera-to-world）。两个最直观的检验：

手算一个例子（仰角 0、方位角 0、d = 500，下面点"代入手算例子"）：第 ③ 步得到 R₀，第 ④⑤ 步角度都是 0，什么都不转；第 ⑥ 步沿视线 z_c = (−1, 0, 0) 往后退 500，到 C = (500, 0, 0)。所以 x_c = (0, 1, 0)、y_c = (0, 0, −1)、z_c = (−1, 0, 0)。相机正前方 300 mm 的点：C + 300 × z_c = (200, 0, 0)，正好在相机和原点之间。

w2c：反过来，世界 → 相机（投影真正要用的方向）

拍片时方向反过来：已知世界里的点，要算它在相机坐标里是多少。所以要 c2w 的逆，叫 w2c = [Rᵀ, −Rᵀ·C]（第 3 章 ④ 的逆矩阵）。它做的事很直观：先减去相机位置，再分别点乘相机的三根轴。

接着上面的例子：小球 R 在世界 (52, 0, 8)。p − C = (−448, 0, 8)；x_c = (0, 1, 0)·(−448, 0, 8) = 0；y_c = (0, 0, −1)·(−448, 0, 8) = −8；z_c = (−1, 0, 0)·(−448, 0, 8) = 448。意思是：R 在相机正前方 448 mm，水平居中，比画面中心高 8 mm（y_c 为负就是向上）。第 ⑥ 步之后右边会显示任意点的这套换算。

这台相机有几个自由度

要点
  • 世界原点 = 头（体积）的中心，头不动；相机是一个局部坐标系，从原点出发先转（②–⑤）、再沿视线往后退（⑥）。
  • 这几步乘起来就是 c2w：前三列是相机三根轴在世界里的方向，第 4 列是相机位置。w2c 的第 4 列 −Rᵀ·C 不是相机位置，直接当位置用是常见 bug。
  • w2c = "先减相机位置，再点乘三根相机轴"。z_c 是深度，第 7 章的透视就是拿 x_c、y_c 除以它。
第 7 章

投影：相机坐标 → 像素

自检…

换到相机坐标以后，X 光（锥形束）成像只剩一件事：相似三角形。源在原点，探测器在视线方向距离 DSD 处，一个点 (x_c, y_c, z_c) 落在探测器上的位置是

u = DSD · x_c ⁄ z_c　　v = DSD · y_c ⁄ z_c　　（单位 mm，探测器中心为 0）

除以 z_c 就是"近大远小"。这一步没法写成 3×3 乘法，所以才需要第 3 章说的齐次坐标：先乘矩阵，再除以最后一个分量。

① 侧面看：相似三角形

左边黑点是源，右边竖线是探测器。橙色箭头是物体，虚线是经过箭头尖的那条射线。

② 正面看：从 3D 点到像素

下面是模拟头的 DRR（每个像素 = 那条射线上密度的积分，算法在第 8 章），十字是用矩阵算出来的三个小球中心的投影。十字落在亮斑正中间，就说明矩阵算对了。右边对比两条算像素的路：相机内参矩阵 K，以及 R2-Gaussian 光栅化器用的投影矩阵 P → ndc → 像素。

鼠标移到图上看像素下标。

③ 从 c2w 到像素：代入数字一步步算

把前面几章串成一条完整的计算：给定扫描角 θ（R2-Gaussian 的 angle2pose，仰角 0）、DSO、DSD 和世界里的一个点 p，算出它落在探测器的第几行、第几列。左边俯视图（从 +z 往下看）里可以拖光源（改扫描角）、拖点 p（改它的 x、y）；右边按步骤列出每一步的数字，用"显示到第几步"一次只看前几步，俯视图也会跟着一步步把线画出来。

俯视图（从 +z 往下看，单位 mm）：灰圈 = 头；虚线圆 = 光源轨道（半径 DSO）；黑点 = 光源 C（可拖）；橙点 = 点 p（可拖）；粗黑线 = 探测器；浅红 / 浅蓝箭头 = 相机的 x_c、z_c（y_c 朝下，垂直于纸面）。第 ③ 步画出 p 在 z_c、x_c 方向上的分量，第 ④ 步画出射线打到探测器的位置。
要点
  • 放大率 = DSD ⁄ DSO：等中心处 1 mm 的东西在探测器上是 DSD ⁄ DSO mm。离源越近的东西越大。
  • mm → 像素：col = u ⁄ 像素间距 + (W − 1) ⁄ 2。把这两步合在一起就是内参矩阵 K = [[DSD⁄du, 0, cx], [0, DSD⁄dv, cy], [0, 0, 1]]。
  • R2-Gaussian 的 P 矩阵把 x_c ⁄ z_c 先缩放到 ndc ∈ [−1, 1]，再用 ndc2Pix(v, S) = ((v + 1)·S − 1) ⁄ 2 变成像素；那个 −1 是半像素修正，让像素中心落在整数上。两条路结果逐位相同。
  • 平行束是 DSO → ∞ 的极限：不除以 z_c，放大率恒为 1。R2-Gaussian 平行束模式里 P 直接是单位阵。
第 8 章

反过来：像素 → 射线 → 体素

自检…

第 7 章是"点 → 像素"。DRR（包括 DiffDRR）走的是反方向：对每个像素，从源画一条穿过它的射线，沿射线在体积里采样，把密度加起来。这一步会把前面几章的矩阵全部用一遍：

像素 (row, col) → 探测器上一点（相机坐标）→ c2w → 世界坐标 → 射线 → 采样点 → A⁻¹ → 体素下标 → 取密度 → 求和
灰色立方体 = 体积范围（20×20×20 个 10 mm 体素）；探测器上贴的是 DRR；橙色线是选中像素的射线，线上的点是采样点。
要点
  • 像素中心在相机坐标里是 ((col − (W−1)⁄2)·du, (row − (H−1)⁄2)·dv, DSD)，乘 c2w 就到世界里；射线方向 = 它减去源的位置再归一化。
  • 采样点的下标一般不是整数（A⁻¹ 算出来是 12.37 这种），所以要插值（DiffDRR 用三线性插值，也可以用 Siddon 算法精确求每个体素里的长度）。
  • 求和 Σ ρ·Δt 是线积分的近似。采样越密越接近真值；太稀时细小结构会被整个跳过。
第 9 章

C 臂（DiffDRR / GeoReg）

自检…

这一章把 DiffDRR 0.6 里真正执行的几行代码逐步复现出来（对照 DiffDRR 0.6 源码写的）。世界坐标是 RAS（x 向病人右、y 向前、z 向上），read() 已经把体积中心挪到原点（第 5 章的 canonicalize）。

rot = [主角度, 0, 副角度]（弧度），tra = [0, SOD, 0] ← GeoReg 用 DICOM 角度初始化的写法 R = Rz(rot[0])·Ry(rot[1])·Rx(rot[2]) ← euler_angles_to_matrix(…, "ZYX") E = [R | R·tra] ← convert()：camera_center = R·tra pose = E · reorient ← Detector.forward：reorient.compose(extrinsic) 源 = pose·(0, 0, 0)　　像素 (row, col) = pose·(−delx·(col − (W−1)⁄2), −dely·(row − (H−1)⁄2), SDD)

最后一行的两个负号来自 _initialize_carm：行下标 t 取反；列下标 s 在 reverse_x_axis=True（DRR 的默认值，注释写着"obey radiologic convention"）时也取反。

黑球 = 源；贴图的方框 = 探测器（贴的是这个视角的 DRR）；橙线 = 中心射线。源旁边的浅色箭头是 R 的三列。
要点
  • tra = [0, SOD, 0] 是"沿相机自己的 y 轴退 SOD"，不是世界里的固定位置：源 = R·tra = SOD × R 的第 2 列。LAT 和 AP 的 R 不同，同一句 tra 把源放到了完全不同的地方。
  • 不管角度怎么调：源到原点的距离恒为 SOD，中心射线恒穿过原点 → 世界原点就是 C 臂的旋转中心，头钉在那里不动。
  • 图像方向：零位时源在 +y（前方）、探测器在后方；col 增大 = 世界 −R·x̂，row 增大 = 世界 −R·ẑ。所以零位图像的左边是病人右侧、上边是头顶（放射学看片习惯）。
  • 两台 C 臂的相对位姿由 DICOM 定死（下面"两个视角"里的夹角和源间距），头相对整套系统只有 6 个自由度。
第 10 章

R2-Gaussian 的相机与投影

自检…

R2-Gaussian（用 3D 高斯做 CT 重建）用的是另一套写法：C 臂只绕世界 z 轴转，一个角度 θ 就定下相机。下面用一个简单的 R2-Gaussian 设置举例，坐标链是：

xyz_norm ∈ [−0.5, 0.5]³ × s_voxel → 世界坐标（体积中心在原点） θ → ang = 90° − θ → c2w = angle2pose(DSO, ang) ← 数据集的角度定义和 angle2pose 差 90° 且方向相反时，先换算 w2c = inv(c2w)；view = w2cᵀ；full_proj = view · Pᵀ ← 行向量写法，给 CUDA 用 ndc → ndc2Pix → 渲染图 → flip(-1) ← 渲染图和投影图左右相反时，翻转一下 另一条路：手写投影公式"z 取反、绕 z 转 θ、除以 (DSO − y)" ← 需要按 3D 点去 2D 图上取值时常这样写

其中 c2w 的建法和第 6 章完全一样：从世界原点放一个局部坐标系，先转（R1、R2 得到基准朝向，R3 转到扫描角），再沿视线往后退 DSO。点下面的"▶ 分解 angle2pose"能看到同样的几步，标题里标着对应第 6 章的第几步。

虚线圆 = 源的轨道（半径 DSO，在 xy 平面）；方框 = s_voxel 大小的体积；探测器上贴的是光栅化器"翻转之前"的图（物理朝向）。
要点
  • angle2pose 就是第 6 章那六步去掉第 ④ 步：R1、R2 是第 ②③ 步（得到基准朝向 R₀），R3 是第 ⑤ 步（方位角 = ang），trans 是第 ⑥ 步（沿视线往后退 d = DSO）；没有仰角，所以光源只在 xy 平面的圆上转，画面上方永远是 +z。全是绕世界固定轴转，是外旋。
  • 代码里的 Camera.R / Camera.T 容易看错：dataset_readers 存的是 R = w2c[:3,:3].T，它其实就是 c2w 的旋转（列 = 相机三根轴）；T = w2c[:3,3] 却是 w2c 的平移 −Rᵀ·C，不是光源位置。getWorld2View2(R, T) 再把两者拼回 w2c。
  • "R stored transposed due to glm"：CUDA 里用 glm，矩阵按列存，所以 Python 这边把 w2c 转置后传进去；平移就跑到了最后一行，camera_center = view.inverse()[3, :3] 取的也是最后一行。
  • 两条投影路径逐位一致（本章自检用 500 个随机点验证）。三处"修正"缺一不可：渲染路径的 90° − θ、flip(-1)，和手写投影的 z 取反。下面的开关可以一个个关掉看后果。
  • R2-Gaussian 的数据读取会把整个场景缩放到 [−1, 1]³（scene_scale = 2 ⁄ max(sVoxel)，DSO、DSD、探测器尺寸一起乘，投影值也乘）；像素位置不变。也可以不缩放、直接用物理尺寸，本章的例子就是这样。
第 11 章

对照表与常见坑

自检…

三套代码逐项对照

DiffDRR / GeoRegR2-Gaussian（数据读取默认）R2-Gaussian（第 10 章的例子）
世界原点体积中心（read() 的 canonicalize）体积中心（offOrigin = 0 时）体积中心（voxelize 的 center = (0, 0, 0)）
长度单位mm缩放到体积落在 [−1, 1]³（scene_scale）配置里的物理尺寸（xyz_norm × s_voxel）
位姿怎么给rot（ZYX 欧拉角，弧度）+ tra，6 个数一个角度 θ，只绕 z一个角度，先换成 90° − θ
源的位置R·tra = SOD × R 的第 2 列DSO·(cos θ, sin θ, 0)DSO·(sin θ, cos θ, 0)
视线方向−R·ŷ（canonical z 经 reorient 变成 −y）相机 z_c，指向原点同左
矩阵写法列向量：E·pw2c 转置后传给 CUDA，行向量同左
像素方向row + = −R·ẑ；col + = −R·x̂（reverse_x_axis=True）col + = x_c，row + = y_c（ndc2Pix）渲染完再 flip(-1)，col 反向
体数据下标torchio / nibabel：(i, j, k)按 nVoxel、sVoxel 查询网格volume_shape = (Z, Y, X)
按投影点在 2D 图上取值——grid_sample，坐标 [−1, 1]，align_corners=False

四个最容易踩的坑（每个都能拖）

① 度 vs 弧度

② 行向量 vs 列向量

③ grid_sample 的 align_corners

④ 数组下标顺序

最后四道题

几何约定对照的源码：DiffDRR 0.6 detector.py / pose.py / data.py / drr.py；R2-Gaussian dataset_readers.py / graphics_utils.py / cuda_rasterizer/auxiliary.h。模拟头和所有数值都是示意，不是真实数据。